Logika Matematika
|
1. Pernyataan, Nilai Kebenaran, dan Kalimat Terbuka 1.1. Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang hanya bernilai benar atau salah saja,tetapi tidak dapat sekaligus benar dan salah. Contoh kalimat bukan pernyataan i) Berapa umurmu sekarang? ii) Minumlah air itu? Kalimat diatas tidak menerangkan sesuatu (bukan kalimat deklaratif),sehingga kaliamat itu bukan pernyataan. Kalimat yang dapat di golongkan pernyataan adalah kalimat yang menerangkan sesuatu (disebut kalimat deklaratif). Contoh kalimat pernyataan i) jakarta adalah ibukota NKRI ii) matahari terbenam di sebelah timur 1.2 Nilai kebenaran Menentukan suatu pernyataan benar atau salah dapat di tentukan memakai dasar empiris dan dasar tak-empiris. i) Dasar empiris adalah menentukan nilai benar atau salah dari sebuah pernyataan berdasarkan fakta yang ada atau dijumpidalam kehidupan sehari-hari. Contoh: 1. Ibukota jawa timur adalah Su1rabaya. (benar) 2. air adalah benda padat.( salah) ii) Dasar tak-empiris adalah kebenaran suatu pernyataan bersifat mutlak,tida bergantung pada waktu dan tempat. Contoh : 1.bilangan 4 merupakan bilangan genap 2. dalam setahun ada 12 bulan 1.3 Kalimat Terbuka Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat peubah/variabel,sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar/salah). Sekarang perhatika kalimat terbuka “2x + 3 = 11â€.misalkan x adalh bilangan real. Nilai n x  R pada klaimt terbuka “ 2 x + 3 = 11,sehingga dapat di ganti di sini x dapat membuktika kalimat ini kalimat terebuka atau bukan. Contoh: i) Jika x diganti 3,diperoleh “ 2(3) + 3 = 11,merupakan pernyataan salah ii) Jika x diganti 4,diperoleh “2(4) + 3 = 11,merupakan pernyataan benar Sehingganilai pengganti x=4 mengubah kalimat terbuka “ 2x + 3 = 11â€, menjadi pernyataan yang benar.nilai x=4 disebut penyelesaian dari kalimat terbuka itu. Himpunan yang angota-anggotanya merupakan semua penyelesaian dari kalimat terbuka disebut himpunan penyelesaian. 2. Negasi, Disjungsi, Konjungsi, Imflikasi, Biimplikasi 2.1 Negasi Negasi suatu pernyataan artinya mengingkari pernyataan semula. Jika P adalah pernyataan maka negasi dari P ditulis ; ~P atau –P Nilai kebenaran negasi suatu pernyataan adalah kebalikan dari nialai kebenaran semula negasi dibaca “bukan “ dan “tidak†Lambang dari negasi adalah (~, - ) Contoh : i) P : kambing berkaki empat (P) = Benar ~P = Kambing tidak berkaki empat ii) R= 3 + 7 = 5 R= salah ~P = 3 + 7 ≠5 (~P) = B 2.2 Disjungsi Disjungsi adalah pernyataan yang d bentuk dari dua pernyataan p dan q yang d rangkai dengan menggunakan kara hubung atau. Simbol dari disjungsi tersebut adalah  dibaca ( atau) p: 5 bilangan ganjil q: 8 bilanga genap pvq: 5 bilanga ganjil atau 8 bilangan genap Nilai kebenaran dari disjungsi : Akan salah jika kedua pernyataan salah selain itu benar. Tabel kebenaran dari disjungsi : P q p  q B B S S B S B S B B B S contoh soal a) 3 x 5 = 15 atau 15 adalah bilangan ganjil b) 3 x 5 = 15 atau 15 adalah bilangan genap c) 3 x 5 = 8 atau 8 adalah bilangan genap d) 3 x 5 = 8 atau 8 adalah bilangan ganjil Jawab a) 3 x 5 = 15 atau 15 adalah bilangan ganjil, disjungsi bernilai benar B B b) 3 x 5 = 15 atau 15 adalah bilangan genap, disjungsi bernilai benar B S c) 3 x 5 = 8 atau 8 adalah bilangan genap, disjungsi bernilai benar S B d) 3 x 5 = 8 atau 8 adalah bilangan ganjil, disjungsi bernilai salah S S 2.3 Konjungsi Konjungsi adalah pernyataan yang berbentuk dari dua pernyataan p dan q yang d rangkai dengan menggunakan kata hubung dan. Simbol dari konjungsi adalah dibaca ( dan). p: matahari terbit pada siang hari q: bunga-bunga tersenyum p  q: matahari terbit pada siang hari dan bunga-bunga tersenyum nilai kebenaran dari konjungsi akan benar jika kedua pernyataan benar, selain itu akan salah P q p  q B B S S B S B S B S S S Contoh soal: a) 5 x 4 = 20 dan 20 adalah bilangan genap b) 5 x 4 =20 dan 20 adalah bilangan ganjil c) 5 x 4 = 9 dan 9 adalah bilangan ganjil d) 5 x 4 = 9 dan 9 adalah bilangan genap Jawab a) 5 x 4 = 20 dan 20 adalah bilangan genap, konjungsi ini benar B B b) 5 x 4 =20 dan 20 adalah bilangan ganjil, konjungsi ini salah B S c) 5 x 4 = 9 dan 9 adalah bilangan ganjil, konjungsi ini salah S B d) 5 x 4 = 9 dan 9 adalah bilangan genap, konjungsi ini salah S S 2.4 Implikasi Implikasi adalah pernyatan majemuk yang di susun dari dua buah pernyatan p dan q dalam bentuk jika p maka q Lambang dari implikasi adalah  dibaca “ jika ... maka†p: hujan tidak turun q: matahari bersinar cerah p  q : jika hujan tidak turun maka matahari bersinar cerah nilai kebenaran dai implikasi adalah akan salah jika pernyatan pertama B dan pernyataan kedua S ,selain itu benar. Tabel kebenaran dari implikasi p q p  q B B S S B S B S B S B B Contoh a) jika 3 + 2 = 5 maka 5 adalah bilangan prima b) jika 9 adalah bilangan genap ,maka surabaya ibukota jawa timur c) jika semarang ibukota jawa tengah ,2 maka medan ibukota sumatra barat d) jika log 3 + log 5 = log 8, maka + = jawab a) jika 3 + 2 = 5 maka 5 adalah bilangan prima, implikasi nilai benar B B b) jika 9 adalah bilangan genap ,maka Surabaya ibukota Tawa S B timur , implikasi bernilai benar c) jika Semarang ibukota Jawa Tengah ,maka Medan ibukota B S Sumatra Barat, impikasi bernilai salah d) jika log 3 + log 5 = log 8 , maka + = , maka S S implikasi ini bernilai benar. 2.5 Biimplikasi Pernyataan p dan q dapat d rangkaidengan menggunakan kata hubung “jika dan hanya jika†sehingga diperoleh pernyatan baru yang berbentuk “p jika dan hanya jika qâ€pernyataan yang d rangkai dengan cara itu disebut biimplikasi Lambang dari biimplikasi adalah  dibaca “ jika dan hanya jika†p: matahari terbit dari sebelah barat q : jika laki-laki melahirkan p  q : matahari terbit dari sebelah barat jika dan hanya jika laki- laki melahirkan. Nilai kebenaran dari biimplikasi Akan benar jika kedua pernyataan mempunyai nilai kebenaran yang sama selain itu salah. Tabel kebenaran p Q p  q B B S S B S B S B S S B Contoh a) 2 x 3 = 6 jika dan hanya jika 6 adalah bilangan genap b) 3 x 2 = 6 jika dan hany jika 6 adalah bilangan prima c) 3 x 2= 5 jika dan hanya jika 5 adalah bilangan ganjil d) 3 x 2 = 5 jika dan hany jika 5 adalah bilangan komposit Jawab a) 2 x 3 = 6 jika dan hanya jika 6 adalah bilangan genap B B Biimpikasi bernilai benar. b) 3 x 2 = 6 jika dan hany jika 6 adalah bilangan prima B S Biimplikasi bernilai salah c) 3 x 2= 5 jika dan hanya jika 5 adalah bilangan ganjil S B Biimplikasi bernilai salah d) 3 x 2 = 5 jika dan hany jika 5 adalah bilangan komposit S B Biimplikasi bernilai salah 3. Pernyataan majemuk, tautologi, dan pernyataan majemuk yang ekuivalen 3.1 Majemuk dan nilai kebenaranya Sampai saat ini kita telah mempelajari pernyataan-pernyataanyang di rangkai dari dua pernyataan p dan q, yaitu: (i) Disjungsi : p Ú q (ii) Konjungsi : p Ù q (iii) Implikasi : p Þ q (iv) Biimplikasi : p Û q Pernyataan-pernyataan (i), (ii), (iii), dan (iv) disebut pernyataan majemuk. Kata-kata hubung atau ( Ú ), dan ( Ù ), jika . . . maka . . . ( Þ ), dan jika dan hanya jika ( Û ) disebut kata hubung logika. Pernyataan-[ernyataan tunggal p dan q, yang membentuk pernyataan majemuk itu, disebut komponen atau pernyataan perangkai. Jadi, Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal (komponen) yang dirangkai dengan menggunakan kata penghubung. Di samping pernyataan-pernyataan majemuk sederhana di atas, seringkali dijumpai pernyataan-pernyataan majemuk yang lebih rumit. Pernyataan majemuk yang rumit terdiri atas pernyataan-pernyataan p, q, r, . . ., dan seterusnya, disertai gabungan oprasi ingkaran ( - ), disjungsi ( Ú ), konjungsi ( Ù ), implikasi (Þ), dan biimplikasi (Û). Berikut ini adalah beberapa contoh pernyataan majemuk yang rumit. (i) (~p Ù q ) Þ p (ii) q Û ( p Ú~q ) (iii) ~[ p Ù ( p Þ q ) (iv) [( p Ú q ) Û r] Nilai kebenaran pernyataan majemuk seperti di atas ditentukan dengan menggunakan tabel kebenaran dasar untuk ingkaran ( tabel 6-1), tabel kebenaran dasar untuk disjungsi ( tabel 6-2), tabel kebenaran dasar untuk konjungsi ( tabel 6-3), tabel kebenaran dasar untuk implikasi ( tabel 6-4 ), dan tabel kebenaran dasar untuk biimplikasi ( tabel 6-5). Untuk memahami cara menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk, simaklah contoh berikut. CONTOH Tentukan nilai pernyataan kebenaran ~( p Ú~q) Jawab : p q ~q ( p Ú~q) ~( p Ú~q) B B S S B S B S S B S B B B S B S S B S 3.2 Tautologi Tinjaulah pernyataan majemuk: [( p Þ q ) Ù p] Þ q selalu benar nilai kebenaran pernyataan majemuk itu diperlihatkan pada tabel 6-10 tabel 6-10 tabel kebenaran [( p Þ q ) Ù p] Þ q p q p Þ q ( p Þ q ) Ù p [( p Þ q ) Ù p] Þ q B B S S B S B S B S B B B S S S B B B B Berdasarkan tabel 6-10 pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk [( p Þ q ) Ù p] Þ q selalu benar untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran dari tiap pernyataan komponenya. Pernyataan majemuk yang bersifat seperti itu dikatakan benar logis. Pernyataan majemuk yang benar logis disebut tautologi. Suatu tautologi yang memuat pernyataan implikasi, seperti [( p Þ q ) Ù p] Þ q, tautologi itu dinamakan implikasi logis.Dari pernyataan di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. 1. Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinannilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponenya. 2. Implikasi logis adalah sebuah tautologi yang memuat pernyataan implikasi. Contoh Tentukan bahwa pernyataan majemuk ( p Ù q ) Þ p aadalah sebuah tautologi. Jawab: P Q ( p Ù q ) ( p Ù q ) Þ p B B S S B S B S B S S S B B B B Jadi pernyataan majemuk ( p Ù q ) Þ p adalah sebuah tautologi. 3.3 Dua Buah Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen Untuk memahami pengertian dua buah pernyataan mejemuk yang ekuivalen, perhatikan dua buah pernyataan majemuk berikut. a = ( p Ú q ) dan b = ( q Ú p ) dari pernyataan-pernyataan a dan b itu dapat dibentuk biimplikasi. a Û b atau ( p Ú q ) Û ( q Ú p ) nilai kebenaran biimplikasi ( p Ú q ) Û ( q Ú p ) diperhatikan pada tabel 6-15 berikut. Tabel 6-15 tabel kebenaran ( p Ú q ) Û ( q Ú p ) p q ( p Ú q ) ( q Ú p ) ( p Ú q ) Û ( q Ú p ) B B S S B S B S B B B S B B B S B B B B Dari tabel 6-15 pada kolom 5 tampak bahwa biimplikasi ( p Ú q ) Û ( q Ú p ) adalah sebuah tautologi. Tautologi yang dibentuk a Û b dinamakan ekuivalen logis, ditulis dengan lambang a º b ( dibaca a ekuivalen b atau a setara b ). Jadi tautologi ( p Ú q ) Û ( q Ú p ) dapat ditulis dengan lambang ekuivalen sebagai ( p Ú q ) º ( q Ú p ) ( tanda º dibaca: ekuivalen atau setara ) Sekarang perhatikan kembali tabel 6-15 pada kolom 3 dan kolom 4. Tampak bahwa pernyataan ( p Ú q ) dan penyataan ( q Ú p ) mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua nilai kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Jadi, t ( p Ú q ) = t ( q Ú p ), maka p Ú q º q Ú p. Secara umum dapat disimpulkan. 1. Tautologi yang berbentuk a Û b dinamakan ekuivalen logis dan dituliskan dengan lambang a º b ( dibaca: a ekuivalen b ). 2. Dua buah pernyataan majemuk dinyatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua nilai kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponenya. CONTOH : Tunjukan bahwa ~( p Ú q ) º (~p Ù~q ) Jawab : p q ~p ~q P Ú q ~( p Ú q ) (~p Ù~q ) B B S S B S B S S S B B S B S B B B B S S S S B S S S B Sifat Komunikatif, Asosiatif, dan Distributif pada Disjungsi dan Konjungsi Oprasi-oprasi disjungsi (Ú) dan konjungsi (Ù) dalam logika matematika memenuhi sifat-sifat komunikatif, asosiatif, dan distributif seperti pada aljabar biasa. 1. Sifat Komunikatif a) P Ú q º q Ú p b) P Ù q º q Ù p 2. Sifat Asosiatif a) ( p Ú q ) Ú r º p Ú ( q Ú r ) b) ( p Ù q ) Ù r º p Ù ( q Ù r ) 3. Sifat Distributif a) Distributif disjungsi terhadap konjungsi P Ú ( q Ù r ) º (p Ú q ) Ù ( p Ú r ) b) Distributif konjungsi terhadap disjungsi P Ù ( q Ú r ) º (p Ù q ) Ú ( p Ù r ) 4. Hubungan konvers, invers, dan kontraposisi dengan implikasi (1) p  q (2) q  p (3) ï¾p ï¾q (4) ï¾q ï¾p Pernyataan : q  p disebut konvers dari implikasi p  q Pernyataan : ï¾p ï¾q disebut invers dari implikasi p  q Pernyataan : ï¾q ï¾p disebut kontraposisi dari implikasi p  q Untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan p dan q, hubungan nilai kebenaran implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi dapat diperlihatkan dengan memakai tabelkebenaran. implikasi Konvers Invers kontraposisi p Q ï¾p ï¾q P  q q  p ï¾p ï¾q ï¾q ï¾p B B S S B S B S S S B B S B S B B S B B B B S B B B S B B S B B CONTOH Tentukan konvers,invers,dan kontraposisi dari setiap pernyataan implikasi berikut. a) Jika harga naik, maka permintan turun b) Jika n adalah kelipatan 4, maka n adalah kelpatan 2 c) Jika x = 5, maka = 25 Jawab a) Jika harga naik, maka permintaan turun i) Konveresnya : jika permintaan turun, maka harga naik. ii) Inversnya : jika harga tidak naik, maka permintaan tidak turun. iii) Kontraposisinya : jika permintaan tidak turun , maka permintaan tidak naik. b) Jika n adalah kelipatan 4, maka n adalah kelipatan 2 i) Konversnya : Jika n adalah kelipatan 2, maka n adalah kelipatan 4. ii) Inversnya : Jika n bukan kelipatan 4, maka n bukan kelipatan 2. iii) Kontraposisinya : jika n bukan kelipatan 2, maka n bukan kelipatan 4. c) Jika x = 5, maka = 25 i) Konveresnya : jika = 25, maka x = 5 ii) Inveresnya : jika x ≠5, maka iii) Kontraposisi : jika ≠25, maka x ≠25 5. Silogisme, Modus Ponens dan Modus Tollens Silogisme, modus ponens dan modus tollens adalah metode atau cara yang digunakan dalam penarikan kesimpulan. Proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya (premis). Kemudian, dengan menggunakan prinsip – prinsip logika dapat diturunkan pernyataan baru (kesimpulan/konklusi) yang diturunkan dari premis – premis semula. Penarikan kesimpulan seperti itu sering disebut argumentasi. Prinsip – prinsip logika yang dipakai dalam proses penarikan kesimpulan adalah sebagai berikut : 1. Argumentasi dikatakan berlaku atau sah : jika konjungsi dari premis – premisnya berimplikasi konklusi 2. Argumentasi dikatakan tidak berlaku atau tidak sah : jika konjungsi dari premis – premisnya tidak berimplikasi konklusi Misalkan pernyataan – pernyataan yang diketahui (premis-premis) adalah a dan b, konklusinya c, maka prinsip – prinsip logika tersebut dapat dinyatakan dengan premis – premis dan konklusi sebagai berikut : 1. Untuk argumentasi yang sah : a Ë„ b → c 2. Untuk argumentasi yang tidak sah : a Ë„ b c (tanda : tidak ∕ dibaca : tidak berimplikasi Jadi, suatu argumentasi dikatakan sah jika premis – premisnya benar maka konklusinya juga benar. Suatu argumentasi disusun dengan cara menuliskan premis – premisnya baris demi baris dari atas ke bawah, kemudian dibuat garis mendatar sebagai batas antara premis – premis dengan konklusi. 5.1 Silogisme Misalkan diketahui premis – premis p → q dan q → r. Dari premis – premis itu dapat ditarik konklusi p → r. Penarikan kesimpulan dengan cara itu disebut kaidah silogisme. Kaidah silogisme menggunakan sifat menghantar atau transitif dari pernyataan implikasi. Silogisme disajikan dalam susunan sebagai berikut : p → q ............. premis 1 q → r .............. premis 2 ïœ p → r ................ kesimpulan / konklusi dalam bentuk implikasi, silogisme di atas dapat dituliskan menjadi : [(p → q) Ë„ (q → r)] → (p → r) Sah atau tidaknya suatu silogisme dapat diuji dengan dengan menggunaka tabel kebenaran untuk implikasi [(p → q) Ë„ (q → r)] → (p → r). p q r p q q  r p  r (p  q) Ë„ (q  r) [(p  q) Ë„ (q  r)]  (p  r) B B B B B B B B B B S B S S S B B S B S B B S B B S S S B S S B S B B B B B B B S B S B S B S B S S B B B B B B S S S B B B B B Contoh : Tentukan konklusi dari tiap premis berikut ini : a. Jika ali belajar matematika, maka badu belajar fisika ........ premis 1 Jika badu belajar fisika, maka carli belajar kimia ........ premis 2 Jawab : Jika Ali belajar Matematika, maka Badu belajar fisika ............... premis 1 P q Jika badu belajar fisika , maka carli belajar kimia ................ premis 2 q r ïœ p → r ...... konklusi Jadi, konklusinya adalah : “ Jika ali belajar matematika, maka carli belajar kimia†5.2 Modus Ponens Misalkan diketahui premis – premis p → q dan p. Dari premis – premis itu dapat diambil konklusi q. Pengambilan kesimpulan seperti itu disebut modus ponens atau kaidah pengasingan. Modus ponens disajikan dalam susunan sebagai berikut : P → q ................... premis 1 P .................... premis 2 ïœ q ..................... kesimpulan / konklusi Dalam bentuk implikasi, modus ponens di atas dapat ditulis menjadi : [(p → q) Ë„ p] → q yaitu konjungsi dari premis – premisnya berimplikasi konklusi. Modus ponens dikatakan sah apabila pernyataan implikasi [(p → q) Ë„ p] → q merupakan sebuah tautologi. Dengan demikian, untuk menguji sah atau tidaknya sebuah modus ponens dapat ditentukan dengan menggunakan tabel kebenaran. Nilai kebenaran [(p  q) Ë„ p]  q p q P  q (p  q) Ë„ p [(p  q) Ë„ p]  q B B B B B B S S S B S B B S B S S B S B Contoh : Tentukan konklusi dari tiap premis – premis berikut ini : Jika Badu rajin belajar , maka ia akan naik kelas ............ premis 1 p q badu rajin belajar ............. premis 2 p ïœ q . . . konklusi 5.3 Modus Tollens Misalkan diketahui premis – premis p → ~q. Dari premis – premis itu dapat diambil konklusi ~p. Pengambilan kesimpulan dengan cara seperti itu disebut modus tollens atau kaidah penolakan akibat. Modus tollens disajikan dalam susunan sebagai berikut: p → q .................... premis 1 ~q .................... premis 2 ïœ ~p ..................... kesimpulan/konklusi Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat disajikan sebagai : [(p → q) Ë„ ~q] → ~p yaitu konjungsi dari premis – premisnya berimplikasi konklusi. Sah atau tidaknya modus tollens dapat diuji dengan menggunakan tabel kebenaran untuk implikasi [(p  q) Ë„ ~q]  ~p P Q ï¾p ï¾q p  q (p  q) Ë„ ~q [(p  q) Ë„ ~q]  ~p B B S S B S B S S S B B S B S B B S B B S S S B B B B B Cara lain untuk menunjukan sah atau tidaknya sebuah modus tollens adalah dengan menggunakan sifat kontraposisi dan modus ponens. Kita ingat bahwa implikasi p → q ekuivalen dengan kontraposisi ~q → ~p. Dengan demikian, modus tollens dapat ditulis menjadi : ~q → ~p ~q ïœ ~p Argumentasi yang terakhir ini tidak lain adalah sebuah modus ponens. Oleh karena modus ponens sudah dibuktikan merupakan argumentasi yang sah, maka modus tollens juga merupakan argumentasi yang sah. Jadi, modus tollens adalah bentuk khusus dari modus ponens. Contoh : Tentukan konklusi dari tiap premis – premis berikut : Jika x . y = 0, maka x = 0 atau y = 0 .............. premis 1 x ≠0 dan y ≠0 ............... premis 2 Jawab : Jika x . y = 0 , maka x = 0 atau y = 0 .............. premis 1 p q x ≠0 dan y ≠0 ............... premis 2 ïœ ~p Jadi, konklusinya “ x . y ≠0 †Dalam logika matematika, sah atau tidaknya sebuah argumentasi tidak tergantung pada wajar atau tidak wajarnya makna suatu konklusi sebagai sebuah pernyataan. • Ada argumentasi yang konklusinya bermakna wajar, tetapi tidak diturunkan dengan memakai prinsip – prinsip logika yang benar. Argumentasi seperti ini tidak sah. • Ada argumentasi yang konklusinya bermakna tidak wajar, tetapi diturunkan dengan memakai prinsip – prinsip logika yang benar. Argumentasi demikian sah. 6. Pembuktian sifat atau teorema matematika Sebuah sifat atau teorema dalam matematika dapat dibuktikan kebenarannya dengan mengambil kesimpulan yang didasarkan pada pernyataan – pernyataan lain yang benar (misalnya definisi, fakta atau aksioma) dan dari sifat atau teorema lain yang telah dibuktikan kebenarannya terlebih dahulu. Dengan demikian, suatu pembuktian dalam matematika adalah sebuah argumentasi yang memperlihatkan bahwa pernyataan implikasi p → q selalu benar, dimana : p : adalah sebuah premis atau konjungsi premis – premis, dan q : adalah konklusi (kesimpulan) dari argumentasi yang dapat berbentuk pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk 6.1 Bukti Langsung Penarikan kesimpulan dengan silogisme, modus ponens dan modus tollens yang telah dibicarakan dalam pasal 6-6 merupakan beberapa contoh dari pembuktian sifat matematika dengan bukti langsung. Sebagaimana dikemukakan di depan bahwa pembuktian suatu sifat dalam matematika dapat dikerjakan dengan menggabungkan (mengintegrasikan) definisi fakta, atau aksioma dan sifat – sifat yang pernah dipelajari di jenjang pendidikan sebelumnya. Membuktikan sifat matematika dengan cara seperti ini termasuk dalam kelompok bukti langsung sebagaimana diperlihatkan pada beberapa contoh berikut. Contoh : Buktikan bahwa : untuk semua a dan b  R, maka berlaku (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Jawab : Untuk semua a dan b bilangan real, maka (a + b)2 = (a + b) (a + b) .............. definisi perpangkatan  (a + b)2 = (a + b)a + (a + b)b .............. sifat distributif perkalian  (a + b)2 = (a2 + ba) + (ab + b2) .............. sifat distributif perkalian  (a + b)2 = a2 + (ba + ab) + b2 ............... sifat asiosiatif penjumlahan  (a + b)2 = a2 + (ab + ab) + b2 ............... sifat komutatif perkalian  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ................ definisi penjumlahan Jadi, terbukti bahwa (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 6.2 Bukti tak langsung Misalkan kita ingin membuktikan kebenaran sebuah pernyataan tunggal p. Tetapi yang kita buktikan adalah ~p salah. Oleh karena ~p salah maka p haruslah benar. Pembuktian sifat matematika dengan cara seperti itu disebut bukti tak langsung dengan kontradiksi. Contoh : Dengan menggunakan bukti tak langsung, buktikan bahwa “ Jika n2 bilangan bulat ganjil, maka n ganjil “ Jawab : Misalkan p : “ Jika n2 bilangan bulat ganjil, maka n ganjil “ , adalah sebuah implikasi. Kita ingat bahwa ingkaran dari implikasi p : “Jika x, maka y†adalah ~p : “x dan bukan yâ€. Sehingga ingkaran implikasi p: “Jika n2 bilangan bulat ganjil, maka n ganjil†adalah : ~p : “n2 bilangan ganjil dan n bukan ganjil†atau ~p : “n2 bilangan ganjil dan n genap†Jelas bahwa, ~p: “n2 bilangan ganjil dan n genap†adalah pernyataan yang salah. Dengan demikian, pernyataan p: “n2 bilangan bulat ganjil, maka n ganjil†adalah benar. 7. Pernyataan Berkuantor Kuantor dari suatu pernyataan adalah istilah yang digunakan untuk menyatakan “berapa banyak†objek didalam suatu sistem. Kuantor ini terdiri dari: • Kuantor universal, ditulis dengan lambang , mempunyai arti untuk sebarang (for any), untuk setiap (for every/each), atau untuk semua (for all). Pengertian dari ketiga istilah itu bergantung pada konteks pembicaraanya. • Kuantor eksistensial, ditulis dengan lambang , yang mempunyai arti terdapat (paling sedikit satu/ada/for some). • Dalam konteks berkuantor kata sambung sehingga dapat ditulis dengan lambang . Contoh pernyataan berkuantor 1) Untuk sembarang bilangan real x terdapat bilangan asli n sehingga n lebih besar daripada x. 2) Setisp bilangan real x yang tak nol selalu mempunyai kebalikan. 3) Tidak mungkin terdapat bilangan rasional yang kuadratmya samadengan 2. Dalam lambang matematika, jika ïŽ himpunan bilangan asli dan R adalah bilangan real, maka pernyataan (1) dapat ditulis sebagai xRnNn>x |
